Никольский потапов решебник алгебра 10 класс

У нас вы можете скачать книгу никольский потапов решебник алгебра 10 класс в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Справедлива основная теорема арифметики. Если каждое из двух натуральных чисел а н Ь делится на натуральное число с, то их сумма и разность делятся на с. Докажем, например, что числа и взаимно простые. Если числа и имеют общий делитель d, то по теореме 1 их разность б делится на d. Таким образом, общие делители чисел и надо искать среди делителей числа 6. Но не делится ни на 2, ни на 3, ни на 6.

Деление целых чисел с остатком. Разделить с остатком целое число а на отличное от нуля целое число Ь — значит найти два таких целых числа q и г, что и при этом число q называют неполным частным, число г — остатком. Подчеркнем, что в этом определении г — число неотрицательное.

Рассмотрим случай деления на натуральное число Ь. Целые числа а и Ь называют сравнимыми по модулю тп, если каждое из них при делении на т дает один и тот же остаток г. Иными словами, целые числа а и 5 сравнимы по модулю тп, если разность а - Ь при делении на тп дает остаток 0. Для обозначения того, что целые числа а и 6 сравнимы по модулю тп, используют такую форму записи: Свойства сравнений очень похожи на свойства равенств.

Сформулируем некоторые из них. Приведем примеры применения сравнений. Это означает, что - 1 делится на 7, что и требовалось доказать. Докажем признак делимости на 9: Из этого рассуждения вытекает, что верно и обратное утверждение: Опре- делите последнюю цифру числа Р 1. Задачи с целочисленными неизвестными Выясним, можно ли при помощи монет 2 р. Если обозначить через х число монет по 2 р. Уравнение 1 , а значит и наша задача имеют бесконечно много решений: Уравнение 1 является примером диофантовых уравнений — уравнений с несколькими неизвестными, решения которых ищутся в целых числах.

Подобные уравнения возникают в некоторых задачах математики, физики, экономики и т. Следовательно, если с не делится на наибольший общий делитель чисел а и Ь, то уравнение 2 не имеет решений. Если с делится на d — наибольший общий делитель чисел а и Ь, то уравнение 2 можно упростить, разделив его на d. Решение jCq, уц называют частным решением, а решение, задаваемое формулой 3 , называют общим решением уравнения 2.

Следовательно, все решения уравнения 2 задаются формулами 3. Прежде всего отметим, что частное решение иногда можно найти подбором. Одно из них очевидно: Поэтому все решения этого уравнения задаются формулами л: Некий чиновник купил лошадей и быков за талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка — по 21 талеру.

Сколько лошадей и быков купил чиновник? Пусть чиновник купил X лошадей и у быков. Так как 21 и делятся на 3, а 31 не делится на 3, то по теореме 1 и лемме п. Наименьшее натуральное у, при котором это произойдет, равно 9. Итак, найдено частное решение уравнения 5: Другие решения найдет, выписав общее решение уравнения 5: Таким образом, уравнение 5 имеет только 3 решения в натуральных числах: Чиновник купил лошадей и быков 9 и 71, или 30 и 40, или 51 и 9 соответственно.

Прежде всего отметим два знаменитых диофантова уравнения: Большая великая теорема Ферма гласит: Эта теорема была сформулирована итальянским математиком П. Ферма более лет назад, а доказана лишь в г. Отметим, что нет общих методов решения диофантовых уравнений.

Ниже приведены два частных метода решения простых диофантовых уравнений. Некоторые из них решаются с использованием разложения на множители. По условию X и у — целые числа, поэтому произведение целых чисел равно 5 лишь в четырех случаях: Решив каждую из этих систем, найдем все решения уравнения 8 в целых числах: Некоторые диофантовы уравнения решаются выделением полных квадратов. Объясните, почему не имеет решений в целых числах уравнение: Задача Леонардо Пизанского Фибоначчи, — гг.

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы? Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил.

Найдите семь пифагоровых треугольников. Решите в целых числах уравнение 1. Рациональные выражения Напомним, что одночленом называют число, букву, произведение букв и чисел, а многочленом — сумму нескольких одночленов. Любой одночлен можно рассматривать как многочлен. Будем обозначать многочлены большими буквами латинского алфавита А, В, С, D, Сумма, разность и произведение двух многочленов являются многочленами.

Разложение многочленов на множители бывает необходимо при решении уравнений и других задач. Большую помощь в таких случаях могут оказать изученные ранее формулы сокращенного умножения: Список формул сокращенного умножения можно продолжить.

Рассмотрим теперь частное двух многочленов. Алгебраической дробью называют выражение — — частное от деления многочлена А на ненулевой многочлен В, т. Алгебраические дроби подчинены правилам, выраженным следующими равенствами: Таким образом, любой многочлен можно рассматривать как алгебраическую дробь. Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам: Рациональным выражением называют выражение, в котором несколько алгебраических дробей соединено знаками арифметических действий, причем это выражение не содержит деления на нулевой многочлен.

Приведем примеры многочленов от одной переменной: Приведем примеры многочленов от двух переменных: Отметим, что в приведенных выше формулах сокращенного умножения участвуют многочлены или произведения многочленов от двух переменных. Многочлен от нескольких переменных называют симметрическим многочленом, если его вид не изменяется при любой перестановке этих переменных.

Эти формулы иногда применяются при решении уравнений, неравенств, систем. Приведите примеры рациональных выражений. Укажите еш;е одно решение этого уравнения. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней в п. Для нахождения этих коэффициентов часто применяют треугольник Паскаля.

В его нулевой строке стоит единица, в первой строке стоят две единицы, далее в каждой следующей строке по краям стоят единицы, а каждое из оставшихся п - 1 чисел л-й строки равно сумме двух чисел, записанных над ним в предыдущей строке.

Но этот процесс для больших п достаточно трудоемок. Кроме того, надо обосновать правильность треугольника Паскаля. Поэтому приведем общую формулу. Для любого натурального числа п справедлива формула, называемая формулой бинома Ньютона: Слагаемые суммы в правой части называют членами разложения бинома Ньютона. Член а" называют нулевым членом разложения бинома Ньютона, далее идут первый, второй и т. Формулу 7 можно записать еще так: Числа называют также биномиальными коэффициентами.

Докажем формулу 7 для любого натурального п методом математической индукции. На основании принципа математической индукции это означает, что равенство 7 верно для любых натуральных п. Формулу 7 можно доказать комбинаторным способом. Как отмечено в п. Предположим, что равенство 11 справедливо для некоторого натурального ft, т. Сколько членов в формуле бинома Ньютона при: В каком из этих двух случаев имеется средний член в формуле бинома Ньютона?

Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида Рассмотрим многочлены относительно одной переменной х, т. Например, коэффициенты многочлена 5л: Разделить многочлен А на многочлен В с остатком — значит найти многочлены Q к.

Многочлен Q называют частным неполным частным , многочлен R — остатком. Если R есть нулевой многочлен, то многочлен А делится на многочлен В нацело и многочлен В называют делителем многочлена А. Многочлен нулевой степени есть число, отличное от нуля. Любое число, отличное от нуля, можно рассматривать как делитель любого многочлена. Покажем, как это делается, на примерг1х. Пусть даны два многочлена: Наибольшим общим делителем многочленов А is.

Если многочлен А делится на многочлен В нацело, т. Если же А не делится на В нацело, то разделим с остатком многочлен А на многочлен В: Теперь разделим В на Bj: Если Bg — ненулевой многочлен, то продолжим процесс последовательного деления многочленов с остатком.

В результате на fe-м шаге получим систему равенств: Искомый наибольший общий делитель данных многочленов есть последний неравный нулевому многочлену остаток в алгоритме Евклида, т. Как находятся другие коэффициенты частного неполного частного , покажем на конкретном примере. Запишем коэффициенты 3, 0, —2 и данного многочлена в верхнюю строчку таблицы.

В нижней строке таблицы в результате вычислений получатся коэффициенты частного неполного частного и остаток. Как уже сказано выше, коэффициент при старшем члене частного неполного частного будет равен коэффициенту 3 при старшем члене данного многочлена — число 3 сносим в нижнюю строчку таблицы. Сравните выполняемые действия с вычислениями при делении уголком в примере 1. Если требуется найти только остаток от деления многочлена х на двучлен х - а , то можно пользоваться теоремой Везу.

Разделите уголком и по схеме Горнера многочлен: Это означает, что разложение этого многочлена на множители содержит множитель х - 2 см. Их сумма, а также сумма всех слагаемых, кроме последнего, делятся на р, следовательно, последнее слагаемое aQq" делится на р, но тогда Uq делится на р, так как д" не делится на р и числа р и g не имеют общих делителей, отличных от 1.

Выясним, какие рациональные корни имеет многочлен Рд д: Значит, р равно одному из чисел 1, -1, 2, -2, а д равно одному из чисел 1, 2, 3, 6. Поиск остальных рациональных корней многочлена Pg х можно продолжить, подставляя оставшиеся восемь чисел в этот многочлен, но лучше разложить этот многочлен на множители: Коэффициент этого многочлена равен 1, следовательно, если многочлен Р4 х имеет корни — рациональные числа, то эти числа целые и они являются делителями свободного члена 1, т.

Поэтому уравнение 5 имеет корни: Очевидно, что других корней оно не имеет. Для любого X, находящегося между точками Xg и Хд, последний множитель в произведении 5 отрицателен, так как х находится левее точки Хд, а любой из остальных множителей положителен, так как точка х находится правее точек Xj и Xg.

Поэтому множество всех решений неравенства 12 состоит из объединения трех интервалов 1; 2 , 2; 3 и 3; 4 рис. В результате будет получаться неравенство, равносильное предшествующему, т. Аналогично показывается, что любое решение неравенства 2 есть решение неравенства 1.

Следовательно, неравенства 1 и 2 равносильны. Рассмотрим случай, когда многочлены А д: Все решения неравенства 1 можно получить, решив методом интервалов неравенство 2.

Учитывая это обстоятельство, часто не переходят от неравенства 1 к неравенству 2 , а говорят о применении метода интервалов к неравенству 1. Применяя метод интервалов рис. Затем решить неравенство 8. Так как неравенства 7 и 8 равносильны, то множества решений неравенств 7 и 8 одинаковы. I Рассмотрим решение неравенства 1 , когда многочлены А л: В этом случае лучше от неравенства 1 перейти к равносильному неравенству 2 и воспользоваться общим методом интервалов см.

Аналогично множество всех решений неравенства О и А л: Общая часть всех решений этих двух неравенств и составляет множество всех решений системы 7 , а значит 0 4 5 и уравнения 4: Понятие функции и ее графика При рассмотрении количественных отношений явлений реального мира приходится иметь дело с числовыми значениями различных величин, например, времени, пути, скорости, объема, угла и т. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин всегда имеют постоянные числовые значения, у других — эти значения переменные.

Такие величины называют соответственно постоянными и переменными. Изучение явлений реального мира показывает, что переменные величины не изменяются независимо друг от друга: Будем рассматривать лишь пары переменных, значения одной из которых зависимой изменяются в зависимости от значений второй независимой. В приведенном примере естественно считать t независимой переменной, s — зависимой, v — постоянной.

Независимую переменную называют еще аргументом, зависимую переменную — функцией. Поэтому можно сказать, что в приведенном примере S есть функция t. Примеры, когда одна величина является функцией другой, можно продолжить.

Принято говорить о функциях от аргумента, который может быть временем, радиусом, углом и т. В математике принято рассматривать одну величину как функцию другой величины, не вникая в физическую сущность этих величин, и говорить о числовой функции числового аргумента.

Оно предложено великим русским математиком Н. Лобачевским — и немецким математиком Л. Таким образом, чтобы задать функцию, нужно указать способ закон, правило с помощью которого для каждого значения аргумента X е X можно найти соответствующее значение у. Закон f также называют функцией и говорят: Отметим, что вместо пары букв л: Все эти записи характеризуют одну и ту же функцию. Для области определения и области изменения функции f приняты обозначения D f и Е f соответственно.

Кроме формулы, функцию можно задать и графиком. Каждая функция, заданная при помощи формулы, имеет в декартовой системе координат свой график. Можно сказать и так: Формальное определение непрерывности функции будет дано позже. Ее график состоит из двух ветвей. Найдите область определения функции 3.

Свойства 1 и 2 непосредственно следуют из формулы 1. Корнем степени п из числа Ь называют такое число а если оно существует , п-я степень которого равна Ь. Ш Корень степени п ———— Мы уже знаем, что корень 2-й степени называют также квадратным корнем. Корень 3-й степени называют еще кубическим корнем. Далее, о есть корень четвертой степени из 0. Не существует корня четвертой степени из отрицательного числа, потому что четвертая степень любого действительного числа есть число неотрицательное.

В следующем пункте будут ползгчены общие заключения, которые согласуются с рассмотренными выше частными фактами. Единственный ли это корень если он существует? Существует, и притом единственный, корень нечетной степени из любого действительного числа Ь, при этом корень нечетной степени: Через точку В 0; Ь проведем прямую, параллельную оси Ох. Эта прямая пересекает график функции у - в двух и только в двух точках М и N, имеющих одну и ту же ординату Ь.

Абсциссы их в силу симметрии графика относительно оси Оу имеют противоположные знаки. Тогда точка М имеет отрицательную абсциссу, равную -а. Итак, показано, что для каждого положительного числа Ь существуют два и только два корня степени 2т из Ь. Один из них — положительный — обозначают как "Vb, другой — отрицательный — обозначают так: Пусть т — данное натуральное число.

Существует, и притом только один, корень степени 2т -ь 1 из любого действительного числа Ь. Как уже отмечалось в пункте 3. Поэтому понятия корня нечетной степени из неотрицательного числа Ь и арифметического корня той же степени из того же самого числа Ь совпадают. П Корень степени га В случае же четного п, как уже отмечалось в пункте 3. Один из них положительный: Подчеркнем, что верны следующие утверждения: Так как а — неотрицательное число, то Va есть по определению неотрицательное число, л-я степень которого есть а.

Это и выражается равенством 1. Таким числом является а, что и записано при помощи равенства 2. Подчеркнем, что другого неотрицательного числа, л-я степень которого равняется а", нет. Как показано выше, существует только один корень л-й степени из неотрицательного числа. Поэтому для неотрицательных чисел из их равенства следует равенство корней л-й степени из них, т.

Правые части полученных равенств равны. Следовательно, равны и левые их части: Аналогично доказывается равенство 4. Если п — нечетное число, то теоремы 1, 2 и 3 справедливы для любых действительных чисел а, Ь и с с Ф 0. Доказанные в теоремах 1—3 свойства корней степени п используют для вынесения множителя из-под знака корня, внесения множителя под знак корня и при освобождении дроби от иррациональности в знаменателе.

Метод доказательства этих равенств основан на применении теоремы 2 п. Если возвести отдельно левую и правую части предполагаемого равенства 1 в степень л, то получим равные числа: Следовательно, равенство 1 верно. Если возвести отдельно левую и правую части предполагаемого равенства 2 в степень тп, то получим равные числа: Следовательно, равенство 2 верно. Если возвести отдельно левые и правые части предполагаемого равенства 3 в степень тп, то получим равные числа: Следовательно, равенство 3 верно.

Если тип — нечетные числа, то теорема 1 справедлива для любых действительных чисел а, в том числе и отрицательных. Пусть а есть произвольное действительное число. Поэтому в силу равенства 2 п. Следовательно, равенство 4 верно. Справедливость этого утверждения следует из замечания на с. Тогда справедливо ра- венство 5 Доказательство.

Если р — натуральное число, то равенство 5 уже доказано см. Следовательно, Если р 2 , р — целое число, а — положительное число? Каждому неотрицательному числу X поставим в соответствие число у, равное арифметическому корню степени п из х. Свойство 2 следует из того, что арифметический корень степени п из положительного числа есть число положительное.

Докажем теперь свойство 3, т. Это показывает, что кривую Г можно рассматривать как совокупность точек А д: Легко видеть, что график функции 1 отражает свойства 1—5 функции 1. Приведем еще два свойства арифметических корней. Если о 0 возрастает. На интервале 0; 1 , т. Какая кривая является графиком этой функции?

Постройте график функции 3. С его помощью найдите. Постройте графики функций 3. Корень степени п и. Очевидно, что л-я степень натурального числа есть натуральное число. Но не всякое натуральное число есть л-я степень некоторого натурального числа.

Например, среди натуральных чисел, не больших , только четыре, т. Среди натуральных чисел, не больших , только 10, т. Мы видим, что среди больших натуральных чисел редко встречаются л-е степени натуральных чисел. Покажем, как можно приближенно извлечь корень степени л из натурального числа, не являющегося л-й степенью натурального числа. Вычислим приближенно с точностью до второго знака после запятой число УТ7.

Мы знаем, что это число положительное. Положительное число а в степени с любым рациональным показателем г положительно: Далее, используя свойства степени положительного числа с целым показателем, имеем при любом целом р: Теперь докажем равенство 4.

Пусть Tj и Гд — рациональные числа. Пусть о и Ь — положительные числа, а г — рациональное число. Тогда справедливы следуюпще свойства степени с рациональным показателем: Степень с рациональным показателем произведения положительных чисел равна произведению тех же степеней сомножителей: Степень с рациональным показателем частного положительных чисел равна частному тех же степеней делимого и делителя: Аналогично доказывается равенство 7. Следовательно, Теорема 5 доказана.

Степень положительного числа 4. Величина стремится к 1. Переменная на самом деле есть постоянная, равная одному и тому же числу а для любого п. I Дадим формальное определение бесконечно малой величины. Справедливы следующие свойства пределов: Уп В таких случаях заранее невозможно сказать, чему равен предел. Может также случиться, что отношение не имеет никакого предела — ни конечного, ни бесконечного.

Однако после деления числителя и знаменателя на п обнаружилось, что числитель стремится к 1 и знаменатель стремится к 1. Это дает возможность воспользоваться формулой для вычисления предела частного. В любом случае приходится придумывать свой способ. Приведем доказательство утверждений 1 — 4. Утверждения 1 — 4 следуют из того, что выражения в скобках есть бесконечно малые. Надо считать очевидным, что сумма, разность, произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

Также произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая. Наконец, дробь, у которой числитель бесконечно малая, а знаменатель стремится к числу, отличному от нуля, есть, очевидно, бесконечно малая. В противном случае, т. Его половину площадью Si закрасили, затем половину оставшейся части квадрата площадью S2 закрасили и т.

Вычислите п-ю частичную сумму ряда. Сходится ли этот ряд? Если сходится, то какова его сумма? Переменная ограничена снизу например, числом 0 , следовательно, по теореме 2 переменная имеет предел. Переменная поэтому она имеет предел: Составьте формулу, по которой можно найти число, показывающее, во сколько раз увеличилась вложенная сумма к концу года, если проводилось га - 1 перевложение суммы на — часть года.

Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа V2 с недостатком: Пусть Tj, Г2, Гд, Мы уже знаем из п. В полном курсе математического анализа доказывается, что такое пополнение возможно, и притом единственным образом доказательство мы опускаем. Но этот же график дает возможность решить и обратную задачу: Полученное таким образом число а единственное, удовлетворяющее этому условию. Это число называют логарифмом числа Ь по основанию а. Отсюда следует, что логарифм отрицательного числа, так же как логарифм нуля, не существует не имеет смысла.

Логарифм положительного числа Ь по основанию е называют натуральным логарифмом числа Ь и обозначают 1пЬ, т. Логарифм положительного числа Ь по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа Ь и обозначают Igb, т.

В курсе математического анализа для высшей школы очевидный факт существования точки М в приведенных выше рассуждениях доказывается на основании свойства непрерывности действительных чисел. Как обозначают эти логарифмы?

Пусть а, М и N, — положительные числа, при- чем аФ 1, и у — действительное число. Представим числа М и N следующим образом: Разделив правую и левую части равенства 5 на logj, а, получим равенство 4. Логарифмическая функция Пусть а — положительное, не равное 1 число.

Каждому положительному числу X поставим в соответствие число у, равное логарифму числа X по основанию а. Областью ее определения является множество всех положительных чисел. При этом, когда у пробегает любые действительные значения, х пробегает любые положительные значения см. Верно и обратное утверждение. Рассмотрим частные случаи степенных функций. Каждая такая функция определена для всех действительных х, т.

При п нечетном функция 2 нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. При л четном функция 2 четная, ее график симметричен относительно оси Оу. При любом натуральном п функция 3 на промежутке 0; -юо: Свойства этой функции для отрицательных х, т.

На рисунке 55 эта точка показана кружком. Пусть р — даное нецелое положительное число. Пусть Р — данное нецелое положительное число. В определении функций 4 и 5 можно считать, что число р может быть и натуральным числом, но области определения этих функций сужены: Свойства степенных функций 2 — 5 приведены без доказательства; часть из них была доказана ранее см.

Действительно, используя свойства логарифмов, имеем log. Любая степенная функция 1 обладает следующим характерным для нее свойством: Приведите примеры степенных функций.

Тогда очевидно, что единственный корень этого уравнения, а значит и уравнения 1 , есть число а. Теперь рассмотрим уравнения, которые после несложных преобразований превращаются в простейшие показательные уравнения. Простейшие логарифмические уравнения Пусть а — данное положительное, не равное 1 число, Ь — данное действительное число.

Поэтому уравнение 7 , и значит и уравнение 6 , равносильны уравнению logg д: Х69 Показательные и логарифмические уравпепия и иеравепства 6. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного Рассмотрим решение уравнений, которые после замены неизвестного превращаются в простейшие показательные или логарифмические уравнения.

Обычно решение уравнений вида 1 записывают короче, не вводя нового неизвестного, а сразу пишут уравнение 2 , равносильное уравнению 1 и решают уравнение 2. Поэтому, чтобы найти все корни уравнения 6 , надо объединить все корни уравнений Ig л: Решив эти простейшие логарифмические уравнения, получим все корни уравнения 6: Чтобы найти все корни уравнения 8 , надо объединить корни двух уравнений Ig Зл: Следовательно, уравнение 8 имеет только два корня: Простейшие показательные неравенства Пусть а — данное положительное, не равное 1 число, Ь — данное действительное число.

Пусть теперь О Xq справедливо числовое неравенство а для любого числа л: Поэтому решениями неравенства 6 , а значит и неравенства 5 , являются все л: О, то это неравенство 7 можно переписать в виде.

Поэтому для любого числа л: Поэтому множество всех решений неравенства 8 , а значит и неравенства 7 , есть интервал 2; -юо рис. Следовательно, чтобы найти все решения неравенства 4 , надо объединить все решения двух неравенств: Следовательно, множество всех решений неравенства 4 есть объединение двух интервалов -оо; 0 и 1; ч-оо.

Следова- 5 тельно, чтобы найти все решения неравенства 11 , надо объединить 2 I ,, I. Вычислим sin — и cos —. Справедливы следующие свойства sin а и cos а. Малому изменению угла а соответствует малое изменение синуса и косинуса рис. Для любых углов aj и ttg, таких, что 1 справедливо неравенство sin ttj sin Og рис. Постройте окружность с центром в начале координат, проходящую через точку 1; 0. Найдите приближенно с точностью до сотых: Найдите синусы и ко- 6 4 3 2 синусы этих углов.

Определите ради-анную меру углов, которым соответствуют построенные точки. Найдите синусы и косинусы этих углов. Найдите синусы и косинусы следующих углов, где k — любое целое число 7. Определите знак синуса и знак косинуса для каждого из этих углов.

Проиллюстрируйте решение на рисунке. Рассмотрим несколько задач, при решении которых используется понятие арксинуса. Для данного числа а, такого, что а 1. Таких углов не существует. Для каких чисел а существует arcsin а, для каких нет? П Имеет ли смысл запись: V3 e arcsin — 2 ,. Арккосинус Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окружность. При этом вектор ОВ образует с вектором О А единственный угол а из промежутка [0; л], косинус которого равен а рис.

Этот угол обозначают arccosa читают: Подчеркнем, что для любого числа а, такого, что: Для каких а существует arccos а, для каких нет? Примеры использования арксинуса и арккосинуса Рассмотрим несколько задач, при решении которых используется арксинус или арккосинус. Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окружность.

Вычислим arccos cos Так как -6 g [0; л], то нельзя сразу применить формулу 4. Тангенс к котангенс угла 8. Определение тангенса и котангенса угла Число, равное отношению sin а к cos а, называют тангенсом угла а и обозначают tga, т. Из определения следует, что для любого угла а, не совпадающего ни с одним из углов 1 , тангенс этого угла существует, и притом единственный.

Поэтому часто говорят, что tga есть функция угла а. Число, равное отношению cos а к sin а, называют котангенсом угла а и обозначают ctga, т. Из определения следует, что для любого угла а, не совпадающего ни с одним из углов 2 , котангенс этого угла существует, и притом единственный.

Поэтому часто говорят, что ctg а есть функция угла а. Назовем новую ось осью тангенсов. Пусть дан угол а и пусть точка В единичной окружности — точка, соответствующая углу а. Прямая ОВ пересекает ось тангенсов в точке D. Докажем, что tg а равен координате точки D на оси тангенсов. Действительно, опустим из точки В перпендикуляр на ось Ох. ОС Если точка В находится в первой четверти см. Тем самым во всех случаях доказано, что tg а равен координате точки D на оси тангенсов.

Из доказанного утверждения следует справедливость следующих свойств tg а: Тангенс существует для любого угла а, кроме тех, для которых соответствующие им точки В единичной окружности лежат на оси Оу соответствующие им прямые ОВ не пересекают ось тангенсов. Тангенс может принимать любые значения от -сю до ч-сю. Для любых углов и ttg, таких, к п что — ctgttg см. Последнее свойство означает, что функция ctg а на интервале 0; л убывает.

Для любых углов а, для которых существует tg а, т. Покажем справедливость равенств 1 и 2 для любого такого угла а. Конечно, эти равенства верны только для таких углов а, для которых имеют смысл правые и левые их части. Для любых углов а, для которых существует ctg а, т. Доказательство справедливости равенств 3 и 4 для любого такого угла а аналогично доказательству равенств 1 и 2. Для каких углов а они справедливы? Примеры исполыювания арктангенса и арккотангенса Рассмотрим несколько задач, при решении которых используется арктангенс или арккотангенс.

Пусть а — любой угол из промежутка л л — а; 6 б tg а 8 Рассмотрим на координатной плоскости хОу единичную окружность и ось котангенсов. Найдите все такие углы а, для каждого из которых 8. Для любого действительного числа а справедливо равенство: Равенство 4 следует из определения арккотангенса. Вычислите, не пользуясь таблицей или калькулятором 9.

Используя формулу тангенса суммы двух углов, имеем , о i. Применим формулу тангенса двойного угла: Для любых углов а, таких, что 2лп, п. Доказательство второй формулы аналогично. Тем самым доказана справедливость свойства 4. Предположим, что существует число Т О ctg Og. Следовательно, свойство 4 справедливо. График функции у — ctgx называют котангенсоидой. Хотя там речь шла об угле, подразумевалось, что речь идет о числе — радианной мере этого угла.

В данном пункте можно обобщить решение задач из указанных пунктов, переформулировав их как задачи решения уравнений вида 1. Пусть дано простейшее уравнение tg л: Следовательно, 2 множество всех решений уравнения 1 есть объединение множеств всех решений двух уравнений: Решим уравнение sin X - 0,5 sin д: Решая каждое из этих простейших уравнений, находим, что множество всех решений уравнения 3 состоит из трех серий решений: Множество всех решений уравнения 4 есть объединение множеств всех решений двух уравнений: Обе эти серии можно объединить в одну серию: Решая каждое из этих простейших тригонометрических уравнений, находим, что множество всех решений уравнения 5 состоит из двух серий решений: Решим уравнение sin Зл: Замену неизвестного в простых уравнениях, как в примере 5, обычно не записывают, делая запись решения короче, как в примерах 6 и 7.

Решим уравнение cos 2д: Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений в этом пункте на примерах показано применение некоторых тригонометрических формул при решении уравнений. Применение основного тригонометрического тождества. Поэтому множе- 2 ство всех решений уравнения 2 , а значит и уравнения 1 , есть объединение множеств всех решений уравнений: Решим уравнение sin 5л: В некоторых слзщаях при решении тригонометрических уравнений бывает удобно синусы и косинусы кратных углов выражать через синусы и косинусы самих этих углов.

Решим уравение sin 2л: Если в уравнении имеется синус или косинус в четной степени, то, выражая квадраты синуса и косинуса половинного угла через косинус угла, можно понизить степень уравнения. Является ли число — решением этого уравнения? Является ли число - — решением этого уравнения?

Сколько решений имеет это уравнение на отрезке [0; 2л]? Укажите его наибольшее решение, принадлежащее отрезку [-Зл; л]. Укажите его наименьшее решение, принадлежащее отрезку [-2,5л; -0,5л]. Покажем, что при а 0 и 6 0 уравнение 1 равносильно ypeiB- нению а tg л: Мы показали, что любой корень уравнения 1 является корнем уравнения 2. Аналогично показывается, что любой корень уравнения 2 является корнем уравнения 1.

Следовательно, уравнения 1 и 2 равносильны. Уравнение 5 равносильно уравнению tg л: Следовательно, уравнение 5 имеет одну серию решений: Приведенное выше решение неравенств 9 и 11 можно дополнить графической иллюстрацией.

Простейшие неравенства для тангенса и котангенса 1. Множество всех решений неравенства 5 есть объединение всех t из интервала -1 2. Следовательно, множество всех решений неравенства 4 есть объединение всех решений двойного неравенства -1 2.

Множество всех решений двойного неравенства -1 2 есть серия интервалов Итак, множество всех решений неравенства 4 состоит из двух серий интервалов: Введение вспомогательного угла позволяет свести решение таких неравенств к решению простейших неравенств.

Для этого надо сначала применить формулы двойного угла, а затем ввести вспомогательный угол. X sin I 2л: Итак, уравнение 1 имеет две серии решений: Так как корни этого уравнения есть S Тригонометрические уравнения и неравенства Уравнение 6 имеет две серии решений: Поскольку --J2 - yjl,5 0.

Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии и географии. Начала тригонометрии обнаружены в сохранившихся документах Древнего Вавилона, сведения тригонометрического характера встречаются и в старинных памятниках других народов древности.

Древнегреческие ученые впервые поставили перед собою задачу решения прямоугольного треугольника, т. Для решения этой задачи Гиппарх II в. Понятия синуса, косинуса и тангенса угла возникли в геометрии и астрономии. По существу, ими оперировгши еще древние математики, рассматривая отношения отрезков в треугольниках и окружностях. Корень многочлена — — — 2 2. Рациональные уравнения 1 2 2 2 2. Системы рациональных уравнений 1 2 2 2 2. Метод интервалов решения неравенств 2 2 3 3 2.

Рациональные неравенства 2 2 3 3 2. Нестрогие неравенства 2 2 3 3 2. Корень степени n 6 9 12 14 3. Понятие функции и ее графика 1 1 1 1 3. Понятие корня степени n 1 1 1 1 3. Корни четной и нечетной степеней 1 1 2 2 3. Арифметический корень 1 2 2 2 3. Свойства корней степени n 1 2 2 3 3. Функция — — — 1 3.

Степень положительного числа 8 10 13 14 4. Степень с рациональным показателем 1 1 1 1 4. Свойства степени с рациональным показателем 1 2 2 2 4. Понятие предела последовательности 1 2 2 2 4. Свойства пределов — — 2 2 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 1 1 1 2 4. Понятие степени с иррациональным показателем 1 1 1 1 4. Логарифмы 5 6 6 8 5. Понятие логарифма 2 2 2 2 5.

Свойства логарифмов 2 3 3 3 5. Логарифмическая функция 1 1 1 1 5. Десятичные логарифмы — — — 1 5. Степенные функции — — — 1 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 7 7 11 13 6.

Простейшие показательные уравнения 1 1 1 2 6. Простейшие логарифмические уравнения 1 1 1 2 6. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 1 1 2 2 6. Простейшие показательные неравенства 1 1 2 2 6. Простейшие логарифмические неравенства 1 1 2 2 6. Синус и косинус угла 7 7 7 11 7. Понятие угла 1 1 1 1 7. Радианная мера угла 1 1 1 1 7.

Определение синуса и косинуса угла 1 1 1 1 7. Арксинус 1 1 1 2 7. Арккосинус 1 1 1 2 7. Примеры использования арксинуса и арккосинуса — — — 1 7. Формулы для арксинуса и арккосинуса — — — 1 8. Тангенс и котангенс угла 4 4 6 10 8. Определение тангенса и котангенса угла 1 1 1 1 8. Арктангенс 1 1 1 2 8. Арккотангенс — — 1 2 8. Примеры использования арктангенса и арккотангенса — — — 1 8. Формулы сложения 5 8 11 13 9. Косинус разности и косинус суммы двух углов 1 2 2 2 9. Формулы для дополнительных углов 1 1 1 1 9.

Синус суммы и синус разности двух углов 1 2 2 2 9. Сумма и разность синусов и косинусов 1 2 2 2 9. Формулы для двойных и половинных углов 1 1 2 2 9. Произведение синусов и косинусов — — 1 2 9. Формулы для тангенсов — — 1 2 Тригонометрические функции числового аргумента 7 8 9 9 Тригонометрические уравнения и неравенства 5 8 12 16 Простейшие тригонометрические уравнения 2 2 2 2 Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 1 2 2 3