Гдз по наглядной геометрии 5 6 класс шарыгин ерганжиева

У нас вы можете скачать книгу гдз по наглядной геометрии 5 6 класс шарыгин ерганжиева в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Шахматную доску 8x8 полностью нельзя покрыть пентамино, останется четыре свободные клетки. Если вырезать в середине квадрат 2x2, то оставшиеся клетки покрываются двенадцатью фигурками пентамино. На рисунке 43, б изображено покрытие, предложенное Голомбом. Найдите еше хотя бы один вариант подобного покрытия квадрата 8 X 8 с вырезанной серединой. А ведь знакомый всем нам с детства треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного. Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл.

Треугольник 25 а Рис. Например, у фигуры, изображенной на рисунке 44, тоже много углов, но она не является многоугольником. Определяя многоугольник, мы говорим, что эта фигура ограничена замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга. Вы получите пятиугольник рис. Тогда — шестиугольник рис. Заметьте, что сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

Внимательно рассмотрите рисунки 45 и Чем отличаются многоугольники на рисунках 45, а и 46, а от многоугольников на рисунках 45, б и Самым простым многоугольником является треугольник. Но простым — еще не значит неинтересным. Посмотрим, что преподнесет нам знакомство с треугольниками. На рисунке 47 изображен треугольник АВС и указаны основные его элементы. Вершины треугольника, а также соответствующие углы принято обозначать большими латинскими буквами А, В, Сили К, L, М w т.

Все большое семейство треугольников можно разделить на группы по числу равных сторон: И Равных сторон нет — разносторонний треугольник-. В Н Р R На рисунке 48 найдите равнобедренные, правильные, разносторонние, остроугольные, прямоугольные, тупоугольные треугольники. Попадают ли какие-либо из них в две группы сразу?

В разделе 6 мы составляли из некоторых фигурок пентамино паркеты. А можно ли одинаковыми треугольниками покрыть плоскость без промежутков? Вырежьте из бумаги несколько одинаковых треугольников и проверьте свое предположение о возможности такого покрытия.

Подумайте, зависит ли результат от вида треугольников. Посмотрите внимательно на получившиеся паркеты. Какой вывод о сумме углов треугольника вы можете сделать? Измерьте с помощью транспортира углы треугольников на рисунке 48 и результаты внесите в таблицу, в последнем столбце которой запишите сумму углов.

Можно ли внутри равнобедренного треугольника поместить другой равнобедренный треугольник с такими же боковыми сторонами? На сколько треугольников разбивается выпуклый шестиугольник отрезками, соединяющими какую-либо его вершину с остальными вершинами шестиугольника? Треугольники, соединяясь друг с другом, могут образовывать другие фигуры.

Например, шесть правильных треугольников, имеющих общую вершину, образуют правильный шестиугольник рис. Шестиугольник, как и сам треугольник, плоская фигура.

Если же к стороне одного правильного треугольника, лежащего на столе, приставить еще три таких треугольника так, чтобы одна вершина оказалась общей, то получится объемное геометрическое тело — ПИРАМИДА рис. Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. Результаты исследований запишите в тетрадь. Подумайте, что является разверткой тетраэдра, нарисуйте ее. Сделайте модель тетраэдра из бумаги.

Будьте аккуратны при вычерчивании развертки. Дан тетраэдр, грани которого окрашены в серый, оранжевый, розовый и белый цвета рис. Тетраэдр начинают перекатывать, как показано на рисунке, причем он оставляет след такого же цвета, что и грань, касающаяся бумаги.

Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой грани, то какого цвета будет последний след? Постарайтесь догадаться без модели. Если трудно догадаться, то модель вам поможет. Если сначала нижняя грань была оранжевой, то какой она будет после возвращения? Зависит ли результат от пути? Это очень сложный многогранник. Некоторое представление о нем дает рисунок Существует интересная геометрическая игрушка, которая состоит из треугольников и меняется, выворачиваясь наизнанку.

Другими словами, флексагон — гнущийся многоугольник. Флексагон обладает удиви- Рис. На рисунке 53 показано постепенное изменение флексатона. Конечно, по этому рисунку никак нельзя понять ни что такое флексатон, ни как происходит удивительное превращение. Чтобы в этом разобраться, надо изтотовить эту ит-рушку.

А для этото надо сделать ето развертку. Она состоит из десяти правильных треутольников, расположенных так, как на рисунке Пусть сторона каж-дото треутольника равна 3 см. Изтотовьте такую полоску и раскрасьте. Вырежьте полоску и переверните ее так, чтобы верхний край оказался внизу, а нижний вверху. Оборотную сторону раскрасьте также в соответствии с рисунком.

Перегните полоску по сторонам треугольников и сложите, как показано на рисунке Оставшийся треугольник подогните вниз, склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности. Одна сторона у него оранжевая, другая серая. Превратим его в розовый флексагон.

Для этого сначала надо поставить его на стол так, чтобы он опирался на три нижние точки. Эти вершины слегка отгибаем вниз. Затем осторожно соединяем их, и флексагон вывернется наизнанку.

Теперь он имеет розовую сторону. Если верхние точки флексатона развести в стороны, то он будет готов к новому превращению. Еще раз посмотрим на рисунок Так ли изменяется ващ флексагон?

Добиться этого нам поможет умение пользоваться чертежными инструментами и знание способов построения треугольников. Треугольник, как правило, определяется тремя своими элементами. Хотя, конечно, не любые три элемента однозначно определяют треугольник. Рассмотрим три основные задачи на построение треугольников, если заданы: Каждая из этих задач рещается достаточно просто.

По этим данным и построим треугольник АВС. Верщину угла обозначим буквой А рис. На сторонах угла рис. Проведем отрезок СВ при помощи линейки рис. Заметим, что, какими бы мы ни задали две стороны треугольника, существует единственный треугольник с такими сторонами и углом. Постройте треугольник по этим данным. Рисунок 57 иллюстрирует процесс построения искомого треугольника. Запищите себе в тетрадь этапы построения. Прежде чем ответить на него, попробуйте рещить задачу на построение треугольника по следующим данным: В 6 см Рис.

Рисунок 58 иллюстрирует решение этой задачи. Как видите, на сей раз нам для построения потребовался циркуль. Вершина С — точка пересечения двух окружностей с радиусами 5 см и 4 см.

И хотя эти окружности пересекаются в двух точках, мы можем выбрать любую из них, поскольку получающиеся треугольники равны. И здесь вновь возникает вопрос: Прежде чем ответить на него, решим еще две задачи. Можно ли построить треугольник, стороны которого являются отрезками длиной: Нетрудно понять, что три данных отрезка могут служить сторонами треугольника, если сумма длин двух меньших отрезков больше длины наибольшего из них. Если во всех рассмотренных выше случаях по трем заданным элементам можно построить треугольник, то этот треугольник единственный.

Другими словами, если у двух треугольников равны три соответствующих элемента две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих к ней угла; три стороны , то такие треугольники равны. Однако так бывает не всегда. Рассмотрим, например, задачу о построении треугольника по двум сторонам и углу, но не между данными сторонами.

Рисунок 59, а, б, в иллюстрирует каждый из трех случаев. Задачи на построение, наверное, одни из самых древних математических задач. По их поводу у математиков существует целый ряд договоренностей и ограничений. По этим договоренностям стороны треугольника, например, задаются в виде отрезков, а не числами, определяющими их длину; также и углы задаются в виде геометрической фигуры — угла. При построении же разрешается пользоваться лишь математической линейкой т. Транспортир, как и линейка с делениями, не входит в число традиционно разрешенных инструментов.

Если мы теперь вернемся к задаче построения треугольника по трем сторонам, то исходными данными для построения будут являться три данных отрезка. Само построение будет почти таким же. Задачами на построение циркулем и линейкой вы будете специально заниматься в дальнейшем. Треугольник — плоская фигура. Он изображается без искажений, если, конечно, по заданным величинам можно построить треугольник. Плоский рисунок может обманывать, изображая невозможное.

Вы уже встречались с изображением невозможного куба см. Закройте одну из вершин этого треугольника, и станет ясно, что одна из его сторон направлена к нам, а другая — от нас, т. Придумайте и нарисуйте свой невозможный объект. Правильные многогранники Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: Эти слова знаменовали рождение в пока ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла.

Думается, что и вас, и ваших родных увлечет изготовление моделей геометрических тел. Эти страницы книги — для работы дома. Приближается Новый год — самый веселый и красивый праздник. Кроме традиционных елочных украшений хлопушек и фонариков вы можете изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных многогранников, сделанные из цветной бумаги.

Рассмотрите рисунок 61, на котором изображены правильные многогранники — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Их форма — образец совершенства! Так, у каждого из них все грани — одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число ребер, а соседние грани сходятся под равными углами. Подсчитаем число вершин В , ребер Р и граней Г у каждого многогранника и запишем результаты в табличку.

Самое удивительное в этой формуле, что она верна не только для правильных, но и для ВСЕХ многогранников! Ради интереса можете проверить это для нескольких наугад взятых многогранников. Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер — , поэтому формула названа его именем: Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его своим соотечественником.

У правильных многогранников есть еще одна особенность. Оказывается, первый из них тетраэдр стоит немного особняком: Зато четыре оставшихся многогранника разбиваются на две пары. Центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра — куб. То же происходит с парой додекаэдр — икосаэдр. Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов.

И если вы потрудитесь над их изучением и изготовлением, то наверняка они Правильные многогранники доставят вам радость и удовольствие, а возможно, принесут удачу в новом году! На рисунке 62, а—д даны развертки этих елочных игрушек. При изготовлении моделей не забудьте в нужных местах сделать клапаны для склеивания! Есть еще один способ изготовления моделей многогранников, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги.

Без применения клея модель приобретает жесткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги. На рисунке 63, а показано, как можно сплести тетраэдр из двух полосок, состоящих из четырех треугольников. Наложите цветную полоску на белую. Сложите из белой тетраэдр так, чтобы цветной треугольник оказался внутри него, затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в ш,ель между двумя белыми треугольниками.

Правильные многогранники ZxZV g б Рис. Вырежьте три такие полоски белую, черную, красную. Оберните ее черной полоской. Получим куб, у которого передняя и задняя грани белые, а остальные — черные. Третью полоску красную пропустите сзади куба в щель между белой и черной полосками, согните и конечные квадраты также пропустите в щель между передней белой гранью и черной полоской. Если полоски разного цвета, то у получающегося куба противоположные грани одинакового цвета. Показанный на этом рисунке способ интересен тем, что любые две полоски не зацеплены одна с другой, а все три зацеплены.

Существует другой способ плетения куба из таких же полосок. При этом каждые две полоски оказываются зацепленными, а одинаково окращен-ными будут пары соседних граней. Попробуйте найти этот второй способ плетения куба самостоятельно.

Великий французский просветитель Вольтер как-то сказал: На рисунке 64 изображена часть крепостной стены. Один из камней стены имеет столь причудливую форму, что если вытащить его из стены и положить иначе, то стена станет ровной. Отец, у которого было четыре сына, имел квадратное поле.

Остальную часть обещал отдать сыновьям, если те сумеют разделить поле между собой на равные по площади и по форме части. Как сыновьям выполнить это? Занимательных задач на разрезание квадрата — множество.

Головоломка состоит в том, чтобы, используя все семь частей, сложить фигурки, приведенные на том же рисунке Может, вам удастся придумать и свои картинки? Как ни странно, обе фигурки, изображенные на рисунке 67, составлены из всех кусочков танграма. Каким образом фигурка справа приобрела ногу? Геометрия танграма В танграме среди его семи фигур уже имеются треугольники трех разных размеров. Но можно сложить еще один треугольник, используя четыре фигуры: Сложите такой же треугольник, используя: Можно ли составить треугольник, используя только две фигуры танграма?

Очевидно, что из всех семи фигур составляется квадрат. Можно ли составить квадрат из двух фигур? Из каких различных фигур танграма можно составить прямоугольники? Какие еще многоугольники можно составить? Создателем ее считали Архимеда. Разрезав прямоугольник по сплошным линиям, составьте фигурки курицы, мельницы и петуха рис. Конечно, измерить самого себя и стать настоящим Геометром, настоящим Поэтом, Садовником и вообще Настоящим очень трудно. Не всякому удается сделать это за всю.

И все же давайте подумаем над вопросом: За свою историю человечество придумало огромное количество всевозможных единиц, причем каждый народ имел свои. Как известно, герои одного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. Для обитателей тропического леса, в котором живет попугай, эта единица не хуже других. Но длина в попугаях ничего не скажет жителям тайги, да и для соседних джунглей, где живут попугаи другой породы, придется переводить своих попугаев в чужих.

Эта история из мультфильма не такая уж нелепая. Правители разных стран любили устанавливать свои 42 Измерение длины меры, часто связанные с собственной персоной. Например, английский король Генрих! Одна шестнадцатая такой цепочки и составляла 1 фут. Можно сказать, что английский фут — это длина ступни среднего англичанина. С развитием ремесел и торговли появилась потребность в международных единицах, определяемых через что-то более постоянное, чем, например, длина ступни. Первоначально в г. Был изготовлен эталон метра — металлический брус из сплава платины и иридия.

На него нанесены два штриха, расстояние между которыми и составляет 1 метр. Этот эталон хранится в Международном бюро мер и весов в Севре, недалеко от Парижа. После введения метра одни страны сразу приняли его, другие же, славящиеся приверженностью традициям, не спешили отказываться от своих единиц и до сих пор Англия, США и некоторые другие страны измеряют длины в дюймах, футах, ярдах, милях.

Поэтому для международного общения потребовалось научиться переводить национальные меры в международные и обратно. С этой целью некоторую неизменную величину, например Парижский меридиан, надо было измерить в тех и других единицах. Таким образом выяснилось, какую часть метра или сколько метров составляет та или иная мера длины например, английский фут оказался равен 0, м.

Измерим длину отрезка прямой линии в заданных единицах измерение длин кусков кривой линии — несколько иная задача. Берем единицу длины, например метр, и откладываем его на нашем отрезке до тех пор, пока остаток не станет меньше него.

Получившееся число целых единиц запишем. Теперь разделим нашу единицу на 10 равных частей и на оставшейся части измеряемого отрезка будем откладывать часть единицы. Получившееся целое число от 0 до 9 припишем после запятой к полученному ранее целому. Таким образом последовательно получают десятые, сотые Теоретически этот процесс может продолжаться бесконечно долго, но на практике он быстро закончится.

Продолжать измерения станет либо практически невозможно, либо бессмысленно. Чем на меньшие доли мы раздробили метр, тем больше точность измерения. Точность измерения зависит, во-первых, от измерительного инструмента: Например, длина участка — около 50 м. Если длину мерить рулеткой, самое мелкое деление которой 1 см, то длина участка будет измерена с точностью до 1 см например, длина участка около 49 м 68 см.

Точность измерения определяется также свойствами измеряемого объекта. Кусок ткани, например, может растягиваться, да и край у него не всегда четко обозначен. Итак, измеряя на практике различные величины, мы всегда получаем приближенные значения, но погрешность измерения часто не учитываем и считаем полученный результат истинным.

Математики же в своих рассуждениях исходят из того, что отрезки и другие величины имеют точную длину точное значение. Так же в дальнейшем будем действовать и мы. Вот одна простая задача.

Некий путешественник оказался среди жителей малоизвестного племени. Их язык ему понятен, но единиц измерения он не знает. Для больших расстояний местные жители пользуются единицей, которую называют ЯЛИМ. Путешественник измерил в километрах расстояние между двумя деревнями.

Оно оказалось равным 10,8 км. Местные жители определяют это расстояние в 8,1 ялима. Сколько километров надо пройти путешественнику, чтобы добраться до ближайшей реки, если жители говорят, что это расстояние составляет 3,6 ялима? В связи с этой задачей полезно сформулировать одно очень простое, но очень важное утверждение. Чтобы завершить наш разговор о единицах измерения, расскажем о старинных русских мерах длины и некоторых иностранных. ПЯДЬ — расстояние между концами большого и указательного пальцев, растянутых в плоскости, рав- 1 с на д аршина.

АРШИН — примерно расстояние от плеча до конца вытянутой руки взрослого человека. Все это старинные русские меры длины. Приведем еще некоторые меры длины, которыми пользовались а некоторые пользуются и сейчас в разных странах. По-гречески стадий и стадион пишутся одинаково. ЛИ — единица длины, издавна существовавшая в странах Дальнего Востока. Сказать что-либо определенное об этой единице трудно, поскольку ее величина в разных странах меняется от долей миллиметра до м.

ЛЬЁ лье — старинная единица длины во Франции. ФУТ — равен 0, м. Стоит заметить, что в старину на Руси использовались не только исконные русские меры, но и пришедшие с Запада. Еще несколько английских мер длины: МИЛ не путайте с милей — тысячная доля дюйма. ЯРД — равен 3 футам. Запишите все известные, а вернее, перечисленные выше единицы длины в порядке возрастания. Известно старинное пожелание морякам: А сколько это будет аршин, метров?

Вспомните еще пословицы и поговорки, в которых фигурируют меры длины. Приведите примеры из литературы. Задача измерения длин кривых линий, конечно, труднее практически и сложнее теоретически, чем измерение отрезков прямых. Но мы ее решение сводим к измерению отрезков.

Выкладываем нитку или веревку по форме измеряемой кривой, а затем вытягиваем ее в отрезок и измеряем. Так можно измерять длину окружности, обхват дерева и др. Разбиваем измеряемую кривую на небольшие участки, каждый из которых можно считать отрезком. Измеряем каждый отрезок и складываем результаты измерений.

По существу, именно так мы и поступаем, когда измеряем шагами длину дороги. Приведите примеры кривых, длину которых удобно измерять одним из этих способов. Потом Мэри Поппинс поставила градусник себе самой, подержала его одно мгновение и вытащила.

Что же можно взять в качестве единицы площади или объема? Очевидно, что исходить нужно из уже имеющихся единиц длины. Далеко не сразу человек додумался до квадратных и кубических единиц. А площадь квадрата со стороной 1 см равна 1 квадратному сантиметру рис. Нетрудно найти площадь фигуры, составленной из квадратных метров или квадратных сантиметров или из тех и других.

А как быть, если фигура произвольна? Возьмем лист клетчатой бумаги и нарисуем на нем какую-нибудь фигуру рис. Как мы видим, ровно 16 целых клеток содержится внутри фигуры. А самое меньщее число клеток, покрывающих фигуру, равно Таким образом, площадь фигуры больще 16 клеток, но меньще Самое лучщее в данной ситуации, если мы в качестве значения площади возьмем полусумму измерений с недостатком и избытком.

Объясните, почему ощибка меньще указанной величины. Как поступить, чтобы найти площадь фигуры точнее? Для этого надо дробить квадратную единицу.

Будем продолжать заполнять площадь фигуры квадратными миллиметрами до тех пор, пока это возможно. Прибавив соответствующее количество квадратных миллиметров к ранее найденной величине, мы вычислим площадь фигуры с недостатком, но уже точнее. Продолжая покрывать фигуру квадратными миллиметрами, мы Рис. Продолжая этот процесс, можно определить площадь еще точнее. Так же можно поступить и с пространственной фигурой. В качестве единицы объема можно выбрать куб с ребром, равным соответствующей линейной единице.

Получим 1 кубическую единицу — метр, сантиметр, арщин, фут и т. Сколько квадратных миллиметров в одном квадратном километре, квадратных арщинов в квадратной версте, квадратных дюймов в одном квадратном ярде, квадратных километров в одной квадратной миле, кубических сантиметров в одном кубическом километре, кубических вершков в одной кубической сажени, кубических футов в одном кубическом арщине?

А теперь вновь зададим вопрос: Почему бы нам не воспользоваться для измерения площадей треугольным сантиметром, взяв за единицу треугольник, у которого все стороны равны 1 см? Или даже круглым сантиметром? Что касается круглого сантиметра, то здесь неудобство сразу бросается в глаза: В связи с этим рещите задачу. Каждая из сторон треугольника равна 7 см. Сколько треугольных сантиметров составляет его площадь? В общем, для измерения площадей треугольные сантиметры вполне подходят.

Они ничем не хуже квадратных сантиметров. Но если мы таким же образом введем для измерения объемов пирамидальные единицы, т. Оказывается, такими пирамидами нельзя заполнить пространство, и вообще, с измерениями в пространстве Измерение площади и объема 49 все обстоит гораздо сложнее, чем на плоскости.

Вот один пример в виде задачи. Треугольник, каждая из сторон которого 2 см, легко разрезать на четыре треугольника со стороной 1 см.

А теперь возьмем треугольную пирамиду с ребрами по 2 см. На сколько частей оказалась разрезанной исходная пирамида плоскостями, делящими ее ребра пополам? Все ли части являются пирамидами? При решении практических задач на измерение объема не обязательно разбивать пространство на кубические единицы, а затем мельчить на меньшие кубики. Можно поступить следующим образом. Изготовим сосуд в виде единичного куба и заполним его какой-нибудь жидкостью, например водой.

Теперь, разливая это количество воды в различные по форме сосуды, мы будем получать единичные объемы различной формы. Именно так во многих практических ситуациях человек и поступает. С их помощью нетрудно измерить объемы самых разных сосудов с точностью, достаточной в хозяйстве.

Для измерения площадей такой простой способ мы предложить не можем, хотя здесь также, разрезая квадрат на части и перекладывая эти части, можно получать фигуры единичной площади и различной конфигурации.

Кроме длин, площадей и объемов в геометрии надо еще уметь измерять углы. Единица измерения угла, как мы знаем, — градус. Градус можно определить следующим образом. Возьмем произвольную окружность с центром О рис. Разделим ее на равных частей — дуг. Дуги окружности также измеряются в градусах. Разделив каждый градус на 60 равных частей, получим более мелкую единицу угла — минуту.

Одна шестидесятая часть минуты — секунда. Обозначается двумя штрихами ". Не так уж редки ситуации, когда мы с помощью единицы одного вида измеряем не соответствующую ей величину. Например, говоря о расстоянии между двумя городами, мы указываем время, в течение которого можно доехать из одного города до другого. И это гораздо удобнее, чем указывать расстояние. При помощи песочных часов время измеряется в единицах объема — объема пересыпавшегося песка. Попытайтесь привести другие примеры такого рода.

Во многих случаях, чтобы измерить какую-то величину, приходится проявлять большую изобретательность. Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного шара, площадь океана и многое другое.

А это необходимо знать человеку. Помните, в разделе 5 была дана задача об измерении диагонали куба? А вот еще подобная задача. Предложите способ, с помощью которого на практике можно измерить: Придумайте свои задачи на измерение каких-то величин, требующие изобретательности.

Это был вопрос как раз в его вкусе, и он улыбнулся с видом превосходства. Если с вершины горы — другой. И приняв все это в расчет, а также определив широту и долготу, учитывая данные метеорологии, психологии, геологии, топологии и болтологии, а также астрономии и физиологии, статистики, лингвистики, беллетристики и мистики, мы можем Желающие могут прочесть книгу и узнать, чем закончился этот разговор.

Как ни странно, но Король прав. Задача измерения весьма трудная, и одной изобретательности недостаточно. Надо многое знать — законы природы, свойства фигур, математические формулы. В разделе 11 мы рещили несколько практических задач на измерение величин.

А как быть, если требуется измерить высоту дерева, щирину реки или объем больщого камня, который трудно поднять даже нескольким силачам? Прежде чем ответить на этот вопрос, рещим следующие задачи.

Увеличьте ломаную на рисунке 74, в 2 раза так, чтобы ее форма не изменилась. Нарисуйте какую-нибудь ломаную для соседа по парте. Пусть он удвоит ее длину, сохранив прежнюю форму. Как удвоить эту линию? Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза? Как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону увеличить в 2 раза? Ребро куба увеличили в 3 раза. Для учащихся и учителей геометрии. Первые шаги в геометрии…………….

Простейшие геометрические фигуры …. Куб и его свойства……………….. Задачи на разрезание и складывание фигур. Задачи, головоломки, игры ……. Фигурки из кубиков и их частей….. Симметрия помогает решать задачи …. Задачи на разрезание и складывание фигур 7. Измерение площади и объёма Вычисление длины, площади и объёма Задачи со спичками Задачи, головоломки, игры 6 класс Фигурки из кубиков и их частей Параллельность и перпендикулярность Геометрия клетчатой бумаги Симметрия помогает решать задачи Одно важное свойство окружности Задачи, головоломки, игры Подсказки, ответы, решения Предметный указатель Список электронных образовательных ресурсов, использованных в книге Смотреть содержание полностью.

Книга доступна в форме: Купить в магазине издательской группы.